传热学
1.绪论
热量传递的基本方式 ：
热传导
- 必须有温差
- 物体直接接触
- 不发生宏观相对位移
稳态傅里叶公式
热导率 ：
热阻 ：
$$
热流量=\frac{温差}{热阻}
$$
一维稳态导热公式
热对流
定义：
分类
牛顿冷却公式
$$ \Phi=hA(t_w-t_{\infty}) $$ $$ q=\Phi/A=h(t_w-t_{\infty}) $$ 参数说明：
- \(\Phi\) —— 热流量 \([\text{W}]\)：单位时间传递的热量。
- \(q\) —— 热流密度 \([\text{W/m}^2]\)。
- \(h\) —— 表面传热系数 \([\text{W}/(\text{m}^2\cdot^\circ\text{C})]\)。
- \(A\) —— 与流体接触的壁面面积 \([\text{m}^2]\)。
- \(t_w\) —— 固体壁面温度 \([^\circ\text{C}]\)；\(t_\infty\) —— 流体温度 \([^\circ\text{C}]\)。
对流热阻
热辐射
斯蒂芬-玻尔兹曼
例题
传热过程与传热系数
传热
例题
2. 稳态导热
2.1 基本概念
温度场
温度场是物体内各点温度在空间和时间中的分布： $$ t=f(x,y,z,\tau) $$ 若温度不随时间变化，则为稳态温度场： $$ \frac{\partial t}{\partial \tau}=0 $$ 一维稳态导热中，温度只沿一个方向变化，如 \(t=f(x)\) 或 \(t=f(r)\)。
等温线与等温面
同一时刻温度相同的点连成等温线，构成的面称为等温面。
- 等温线、等温面之间不会相交。
- 热量沿等温面的法线方向，从高温处传向低温处。
温度梯度
温度梯度表示温度沿空间方向的最大变化率，方向指向温度升高最快的方向： $$ \nabla t=\frac{\partial t}{\partial x}\vec i+ \frac{\partial t}{\partial y}\vec j+ \frac{\partial t}{\partial z}\vec k $$ 一维情况下： $$ \text{grad }t=\frac{dt}{dx} $$ 实际导热方向与温度梯度方向相反。
傅里叶定律
导热热流密度与温度梯度成正比，方向与温度梯度相反： $$ \vec q=-\lambda \nabla t $$ 一维形式为： $$ q=-\lambda \frac{dt}{dx} $$ $$ \Phi=-\lambda A\frac{dt}{dx} $$ 其中 \(\Phi\) 为热流量 \([\text{W}]\)，\(q\) 为热流密度 \([\text{W}/\text{m}^2]\)，\(A\) 为导热面积 \([\text{m}^2]\)。
导热系数
导热系数 \(\lambda\) 表征材料导热能力，单位为： $$ [\lambda]=\text{W}/(\text{m}\cdot \text{K}) $$ A3 中强调：不同材料的导热系数会随温度变化。计算时若温度范围不大，常把 \(\lambda\) 取为平均温度下的常数。
导热机理：
- 气体：分子不规则热运动和碰撞传递能量。
- 导电固体：主要依靠自由电子运动。
- 非导电固体：主要依靠晶格振动。
- 液体：兼有气体和固体导热机理。
导热微分方程
A3 中的能量守恒关系为： $$ d\Phi_{\text{in}}+dQ_{\text{生成热}} =d\Phi_{\text{out}}+dU_{\text{内能增量}} $$ 直角坐标系中，导热微分方程可写为： $$ \rho c\frac{\partial t}{\partial \tau} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda \frac{\partial t}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda \frac{\partial t}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda \frac{\partial t}{\partial z}\right) +\dot q_v $$ 其中 \(\dot q_v\) 为单位体积内热源强度 \([\text{W}/\text{m}^3]\)。
若 \(\lambda\) 为常数： $$ \frac{\partial t}{\partial \tau} =a\nabla^2t+\frac{\dot q_v}{\rho c} $$ $$ a=\frac{\lambda}{\rho c} $$ 稳态、无内热源时： $$ \nabla^2t=0 $$ 一维稳态、无内热源时： $$ \frac{d^2t}{dx^2}=0 $$
定解条件
要确定具体温度分布，除导热微分方程外，还需要给出几何条件、物性参数、内热源条件和边界条件。
常见边界条件：
- 第一类边界条件：已知壁面温度 $$ t_w=f(\tau) $$
- 第二类边界条件：已知壁面热流密度 $$ -\lambda \frac{\partial t}{\partial n}=q_w $$ 绝热边界为： $$ q_w=0 $$
- 第三类边界条件：壁面与流体对流换热 $$ -\lambda \frac{\partial t}{\partial n}=h(t_w-t_f) $$
2.2 一维稳态导热
以下公式默认 \(\lambda\) 为常数，导热过程为稳态一维导热。
单层平壁导热
边界条件： $$ x=0,\quad t=t_1 $$ $$ x=\delta,\quad t=t_2 $$ 无内热源时： $$ \frac{d^2t}{dx^2}=0 $$ 温度分布为线性分布： $$ t=t_1-\frac{t_1-t_2}{\delta}x $$ 热流密度： $$ q=\lambda \frac{t_1-t_2}{\delta} $$ 热流量： $$ \Phi=Aq=\lambda A\frac{t_1-t_2}{\delta} $$ 单位面积热阻和总热阻分别为： $$ r=\frac{\delta}{\lambda} $$ $$ R=\frac{\delta}{\lambda A} $$ 因此： $$ q=\frac{t_1-t_2}{r},\qquad \Phi=\frac{t_1-t_2}{R} $$
多层平壁导热
对于 \(n\) 层平壁串联导热： $$ r=\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{\lambda_i} $$ $$ R=\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{\lambda_i A} $$ 热流密度： $$ q=\frac{t_1-t_{n+1}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{\lambda_i}} $$ 热流量： $$ \Phi=\frac{t_1-t_{n+1}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta_i}{\lambda_i A}} $$
圆筒壁导热
设圆筒内半径为 \(r_1\)，外半径为 \(r_2\)，长度为 \(l\)，内外壁温分别为 \(t_1\)、\(t_2\)。
温度分布： $$ t=t_1+\frac{t_2-t_1}{\ln(r_2/r_1)}\ln\frac{r}{r_1} $$ 半径 \(r\) 处的热流密度： $$ q_r=\frac{\lambda (t_1-t_2)}{r\ln(r_2/r_1)} $$ 热流量： $$ \Phi=\frac{2\pi l\lambda (t_1-t_2)}{\ln(r_2/r_1)} $$ 导热热阻： $$ R=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi l\lambda} $$
球壁导热
设球壁内半径为 \(r_1\)，外半径为 \(r_2\)，内外壁温分别为 \(t_1\)、\(t_2\)。
温度分布： $$ t=t_1+(t_2-t_1) \frac{\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r}} {\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}} $$ 半径 \(r\) 处的热流密度： $$ q_r=\frac{\lambda (t_1-t_2)} {\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)r^2} $$ 热流量： $$ \Phi=\frac{4\pi\lambda (t_1-t_2)} {\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}} $$ 导热热阻： $$ R=\frac{\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}}{4\pi\lambda} $$
有内热源的一维稳态导热
设 \(\dot q_v\) 为均匀单位体积发热量，\(\lambda\) 为常数，壁面温度为 \(t_w\)。
平壁内热源温度分布，\(x=0\) 为中心面，\(x=\delta\) 为壁面： $$ t=t_w+\frac{\dot q_v}{2\lambda}(\delta^2-x^2) $$ 中心最高温度： $$ t_{\max}=t_w+\frac{\dot q_v\delta^2}{2\lambda} $$
圆柱体内热源温度分布，\(r=0\) 为中心，\(r=R\) 为壁面： $$ t=t_w+\frac{\dot q_v}{4\lambda}(R^2-r^2) $$ 中心最高温度： $$ t_{\max}=t_w+\frac{\dot q_vR^2}{4\lambda} $$
考试重点
必须掌握： 1. 三类边界条件的物理意义和数学形式 2. 平壁一维稳态导热的温度分布和热阻公式 3. 多层平壁热阻串联计算 4. 圆筒壁导热热阻公式 5. 圆管内外对流 + 管壁导热的总热阻模型 6. 根据热阻法求热损失、界面温度、保温层厚度 7. 看到实际题目先画物理模型 需要理解： 8. 导热系数随温度变化时，温度分布不再是直线； 9. 接触热阻来自实际接触面不理想； 10. 查表、查手册、查文献是工程计算的重要能力； 11. 生活问题可以抽象成平壁、圆筒壁、多层热阻问题。 了解即可： 12. 非稳态导热不是本节考试重点； 13. CFD、数值模拟、App/Web 实现属于拓展应用； 14. 球壁导热本节更偏公式记忆和类比理解。
3. 对流换热原理
重点
流动状态：
- 层流
- 紊流
如何计算生物的散热量
对流换热系数与对流换热微分方程
对流换热系数
3.2 层流流动换热的微分方程组
不用记
连续性方程
动量微分方程
能量微分方程
对流换热单值性条件
对流换热过程的相似原理
无量纲形式对流换热微分方程组
无量纲数
欧拉数
雷诺数
贝克莱准则
普朗特数
努塞尔准则（重要）
$$ Nu=hL/\lambda $$ 反应给定流场的换热能力与其导热能力的对比关系