流体力学

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评分标准

笔试 60%
平时作业 10%
验证性实验 10%
探究性实验 20%

探究性实验要求

1.流体的力学性质

混合气体密度

牛顿内摩擦定律

粘性系数

运动粘性系数
动力粘性系数μ：
$$ \tau=\frac{F}{A}=\pm\mu\frac{du}{dy} $$
- 水的动力粘度系数经验公式： $$ \mu=\frac{\mu_0}{1+0.0337t+0.000221t^2}(Pa*s) $$
- 气体动力粘度系数经验公式：
- 混合气体动力粘度系数
- 例题

2流体静力学

欧拉平衡微分方程，流体平衡微分方程

流体压差方程

倾斜平面总压力

总压力大小

\[ F=p_c A \]

总压力作用点： $$ y_D= $$ $$ x_D= $$

曲面总压力

实体虚体

总压力水平分力
$$ F_x=\rho gh_cA_x
$$

总压力垂直压力等效于压力体液重 $$ F_y=pgV_p $$

!!！note "e.g."

3.流体流动特性

流线与迹线

定常流动中，流线与迹线重合

流管

流体质点只能在流管内部或外部运动，不能穿梭 400

流量

体积流量
质量流量

流速

断面平均流速

连续性方程

流体流动连续性方程

设在某一时刻，流体流过 $C$ 点的流速为 $u$，$u$ 在 $x、y、z$ 各轴上的分量为 $u_x、u_y、u_z$，流体的密度为 $\rho$。

可压缩流体（$\rho$ 不是常数）三维流动的连续性方程为：

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z} = 0 \qquad $$ 分类：
1. 可压缩流体定常流动

对于可压缩流体的定常流动，由于密度 $\rho$ 不随时间变化，即 $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$，则连续性方程简化为：

\[ \frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z} = 0 \qquad \]

不可压缩流体（三维定常流动）

对于不可压缩流体，由于密度 $\rho$ 为常数，其三维定常流动的连续性方程进一步简化为：

\[ \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0 \qquad \]

不可压缩流体二维定常流动

对于流体的二维流动（假设在 $xy$ 平面内），不可压缩流体二维定常流动的连续性方程为：

\[ \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \]

不可压缩流体微小流束定常流动连续性方程

理想流体的运动微分方程和伯努利积分

欧拉运动微分方程（理想流体）

实际流体运动微分方程：纳维尔-斯托克斯方程

对于实际流体，微元六面体流体质点除了受表面压力、质量力以外还受切应力的作用。实际流体运动的微分方程一般称为纳维尔—斯托克斯方程，可写为：

\[\begin{cases} X - \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial x} + \nu \Delta^2 u_x = \dfrac{du_x}{dt} \\ Y - \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial y} + \nu \Delta^2 u_y = \dfrac{du_y}{dt} \\ Z - \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial z} + \nu \Delta^2 u_z = \dfrac{du_z}{dt} \end{cases}\]

参数说明：

$\Delta^2$ ：称为拉普拉斯算子** (Laplace Operator)，定义为： $$ \Delta^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $$
$\nu$ ：流体的运动粘性系数 (Kinematic Viscosity)；
$X, Y, Z$ **：单位质量流体所受的质量力分量；
$p$ **：流体压力；
$\rho$ **：流体密度。

伯努利方程

伯努利方程与水头的三个组成部分

对于不可压缩的理想流体，其在流动过程中的总机械能是守恒的。伯努利方程将其表示为三种“水头”的总和：

\[ H = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \text{常数} \]

在这个公式中，$H$ 代表总水头（Total Head），它由以下三个部分组成：

位置水头（Elevation Head / Position Head），$z$：

代表单位重量流体由于所处的海拔高度（相对于某一基准面）而具有的重力势能。位置越高，位置水头越大。
压力水头（Pressure Head），$\frac{p}{\rho g}$：

代表单位重量流体由于内部静压力 $p$ 而具有的压力能。其中 $\rho$ 是流体密度，$g$ 是重力加速度。你可以把它想象成：如果在这个管道上插一根开口向上的透明管子（测压管），管里的水能被管道内的压力顶起多高。
速度水头（Velocity Head），$\frac{v^2}{2g}$：

代表单位重量流体由于流动速度 $v$ 而具有的动能。速度越快，流体的动能越大，转化成的速度水头就越高。

总水头线
测压管水头线 400

在真实的物理世界中，流体是具有粘性（摩擦力）的。因此，流体在管道中流动时，总会有一部分机械能转化为热能散失掉，这就是所谓的水头损失（Head Loss）。

考虑到水头损失 $h_f$，实际流体的伯努利方程变为（假设流体从截面 1 流向截面 2）：

\[ z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + h_f \]

400

实际流体总水头线沿流体流动方向降低

伯努利方程工程应用

例题：

测量流速仪表

毕托管

文丘里管
流量公式

虹吸现象

粘性流体流动阻力计算

流体流动两种状态：平流紊流

雷诺实验

雷诺数

流动状态判别雷诺数是一个无因次综合量，用以判别流体流动状态。

基本定义：

\[ Re = \frac{\rho v d}{\mu} = \frac{v d}{\nu} \qquad \]
参数说明：$d$ 为特征长度，圆管为直径 $d$。
临界雷诺数：
- 上临界雷诺数：$Re'_{cr} = \frac{v'_{cr} d}{\nu}$
- 下临界雷诺数：$Re_{cr} = \frac{v_{cr} d}{\nu}$